非常简洁的后缀自动机教程

对于一个关于只接受\(str\)后缀的后缀自动机，其后缀肯定能从起始状态\(S\)合理地转移，而非后缀必然无法转移

定义

定义相关的函数

\(trans[u][ch]=v\)：表示\(u\)状态沿着\(ch\)边转移到了\(v\)状态的转移函数

\(endpos(s)\)：表示\(str\)的任意子串\(s\)的终止位置集合，用于子串归类

性质1：当\(len(s1) \le len(s2)\)且\(endpos(s1)\)包含\(endpos(s2)\)所有子集时，\(s2\)是\(s1\)的后缀（充要）

当两个集合\(endpos(s1)==endpos(s2)\)，则认为子串\(s1\)和\(s2\)属于同一类

对于每一个相同的归类都设为一个状态，假定其中一个为\(u\)

\(substr(u)\)：表示归为同一状态\(u\)的所有子串集合

\(longest(u)\)：\(substr(u)\)中最长的子串

\(shortest(u)\)：\(substr(u)\)中最短的子串

性质2：\(substr(u)\)中每一个子串\(s\)都是\(longest(u)\)的后缀；\(longest(u)\)的后缀中满足\(len(s) \le len(shortest(u))\)的都属于状态\(u\)，既\(substr(u)\)

有了前面的东西就可以考虑一定的优化如下

\(slink[u]=v\)：我们用suffix link来表示不属于该状态的\(longest(u)\)的后缀（由性质1，由于长度小而无法表示不包含的\(endpos\)则用\(slink\)连接起来，直到起始状态\(S\)为止；\(slink[u]=v\)的沿向一定是\(endpos(v)\)逐渐包含\(endpos(u)\)的过程，而\(endpos(S)\)则包含所有位置）

\(minlen[u],maxlen[u]\)：分别表示状态\(u\)中最短和最长的字符串的长度（由性质2，这些都是连续的后缀，无需多余记录真实的字符串）

为此我们用\(slink\)替代了\(endpos\)，同时\(minlen,maxlen\)替代了\(substr,shortest,longest\)

构造过程

• 考虑增量法，假设已经构造好\(str[1...i]\)的后缀自动机，如何在线增加一个\(str[i+1]\)（设为\(ch\)）以满足\(str[j...i+1],1 \le j \le i+1\)的构造
• 至少\(str[1...i+1]\)肯定没有重复的出现在原有的任一状态中，假设新增的状态为\(u\)，令\(str[1...i]\)所在的状态\(v\)（此前最后一个新增的状态）新增转移\(trans[v][ch]=u\)（此时也表示了\(str[j...i],1 \le j \le n-minlen(u)+1\)的转移），并沿着\(slink[v]=w\)的路径，对所有的\(trans[w][ch]=null\)都把对应转移指向\(u\)
• 对于第一个已经存在先前的状态\(x\)满足\(trans[w][ch]=x\)的情况，需要分两类考虑
• 一类是\(maxlen[w]+1=maxlen[x]\)，此时表明该状态\(x\)完全重复且无多余地覆盖了\(str[j...i+1]\)的后缀，那么只需\(slink[u]=x\)，结束流程
• 另一类是\(maxlen[w]+1 \lt maxlen[x]\)，此时需要划分原有的\(x\)的子串为三个部分，\(minlen[x]...maxlen[w]+1...maxlen[x]\)，考虑把状态\(x\)拆分出一部分\(y\)来继承原有\([minlen[w],maxlen[w]+1]\)的部分，\(x\)只包含剩下的部分（此时\(slink[y]=slink[x],slink[x]=y\)），那么状态\(y\)的出现使得问题回归到上一类的情况，只需\(trans[w][ch]=y,slink[u]=y\)
• 对于上面的转移可能不止一个\(w\)转移向原\(x\)，所以需要把连续的\(trans[w][ch]\)置为\(y\)

完成版

#include<bits/stdc++.h>
#define fast_io() do{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);}while(0)
using namespace std;

namespace util {
    template<typename T>
    inline void alloc(vector<T> &v) {
        v.emplace_back();
    }
    template<typename T>
    inline void empb(vector<T> &v,T &arg) {
        v.emplace_back(arg);
    }
}

using namespace util;
struct SuffixAutomaton {
    vector<array<int,26>> trans;
    vector<int> slink,minlen,maxlen;
    int last;
    
    inline void init() {
        alloc(trans);
        alloc(slink);
        alloc(minlen);
        alloc(maxlen);
    }
    
    SuffixAutomaton() {
        init();
        last = 0;
        slink[0] = -1;
        minlen[0] = maxlen[0] = 0;
        trans[0].fill(-1);
    } 
    
    int state(int tr,int suf,int mn,int mx) {
        int cur = trans.size();
        alloc(trans);
        if(~tr) trans[cur] = trans[tr];
        else trans[cur].fill(-1);
        empb(slink,suf);
        empb(minlen,mn);
        empb(maxlen,mx);
        return cur;
    }
    
    int add(char ch) {
        int c = ch - 'a';
        int u = state(-1,-1,-1,maxlen[last]+1);
        int v = last;
        while(v!=-1 && trans[v][c] == -1) {
            trans[v][c] = u;
            v = slink[v];
        }
        if(v == -1) {
            minlen[u] = 1;
            slink[u] = 0;
            return last = u;
        }
        int x = trans[v][c];
        if(maxlen[v]+1 == maxlen[x]) {
            slink[u] = x;
            minlen[u] = maxlen[x]+1;
            return last = u;
        }
        int y = state(x,-1,-1,maxlen[v]+1);
        minlen[y] = maxlen[slink[y] = slink[x]]+1;
        minlen[x] = maxlen[slink[x] = y]+1;
        minlen[u] = maxlen[slink[u] = y]+1;
        while(v != -1 && trans[v][c] == x) {
            trans[v][c] = y;
            v = slink[v];
        }
        return last = u;
    }
};

int main() {
    fast_io();
    string str;
    cin >> str;
    SuffixAutomaton sam;
    for(int i = 0; str[i]; i++) {
        sam.add(str[i]);
    }
    long long res = 0;
    for(int i = 1; i < sam.trans.size(); i++) {
        res += sam.maxlen[i]-sam.minlen[i]+1;
    } 
    cout << res << endl;
    return 0;
}

old version: https://paste.ubuntu.com/p/TjFs5wVS8d/

参考

hihocoder127/128解题方法提示