对于一个关于只接受$str$后缀的后缀自动机,其后缀肯定能从起始状态$S$合理地转移,而非后缀必然无法转移
定义
定义相关的函数
$trans[u][ch]=v$:表示$u$状态沿着$ch$边转移到了$v$状态的转移函数
$endpos(s)$:表示$str$的任意子串$s$的终止位置集合,用于子串归类
性质1:当$len(s1) \le len(s2)$且$endpos(s1)$包含$endpos(s2)$所有子集时,$s2$是$s1$的后缀(充要)
当两个集合$endpos(s1)==endpos(s2)$,则认为子串$s1$和$s2$属于同一类
对于每一个相同的归类都设为一个状态,假定其中一个为$u$
$substr(u)$:表示归为同一状态$u$的所有子串集合
$longest(u)$:$substr(u)$中最长的子串
$shortest(u)$:$substr(u)$中最短的子串
性质2:$substr(u)$中每一个子串$s$都是$longest(u)$的后缀;$longest(u)$的后缀中满足$len(s) \le len(shortest(u))$的都属于状态$u$,既$substr(u)$
有了前面的东西就可以考虑一定的优化如下
$slink[u]=v$:我们用suffix link
来表示不属于该状态的$longest(u)$的后缀(由性质1,由于长度小而无法表示不包含的$endpos$则用$slink$连接起来,直到起始状态$S$为止;$slink[u]=v$的沿向一定是$endpos(v)$逐渐包含$endpos(u)$的过程,而$endpos(S)$则包含所有位置)
$minlen[u],maxlen[u]$:分别表示状态$u$中最短和最长的字符串的长度(由性质2,这些都是连续的后缀,无需多余记录真实的字符串)
为此我们用$slink$替代了$endpos$,同时$minlen,maxlen$替代了$substr,shortest,longest$
构造过程
- 考虑增量法,假设已经构造好$str[1...i]$的后缀自动机,如何在线增加一个$str[i+1]$(设为$ch$)以满足$str[j...i+1],1 \le j \le i+1$的构造
- 至少$str[1...i+1]$肯定没有重复的出现在原有的任一状态中,假设新增的状态为$u$,令$str[1...i]$所在的状态$v$(此前最后一个新增的状态)新增转移$trans[v][ch]=u$(此时也表示了$str[j...i],1 \le j \le n-minlen(u)+1$的转移),并沿着$slink[v]=w$的路径,对所有的$trans[w][ch]=null$都把对应转移指向$u$
- 对于第一个已经存在先前的状态$x$满足$trans[w][ch]=x$的情况,需要分两类考虑
- 一类是$maxlen[w]+1=maxlen[x]$,此时表明该状态$x$完全重复且无多余地覆盖了$str[j...i+1]$的后缀,那么只需$slink[u]=x$,结束流程
- 另一类是$maxlen[w]+1 \lt maxlen[x]$,此时需要划分原有的$x$的子串为三个部分,$minlen[x]...maxlen[w]+1...maxlen[x]$,考虑把状态$x$拆分出一部分$y$来继承原有$[minlen[w],maxlen[w]+1]$的部分,$x$只包含剩下的部分(此时$slink[y]=slink[x],slink[x]=y$),那么状态$y$的出现使得问题回归到上一类的情况,只需$trans[w][ch]=y,slink[u]=y$
- 对于上面的转移可能不止一个$w$转移向原$x$,所以需要把连续的$trans[w][ch]$置为$y$
完成版
#include<bits/stdc++.h>
#define fast_io() do{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);}while(0)
using namespace std;
namespace util {
template<typename T>
inline void alloc(vector<T> &v) {
v.emplace_back();
}
template<typename T>
inline void empb(vector<T> &v,T &arg) {
v.emplace_back(arg);
}
}
using namespace util;
struct SuffixAutomaton {
vector<array<int,26>> trans;
vector<int> slink,minlen,maxlen;
int last;
inline void init() {
alloc(trans);
alloc(slink);
alloc(minlen);
alloc(maxlen);
}
SuffixAutomaton() {
init();
last = 0;
slink[0] = -1;
minlen[0] = maxlen[0] = 0;
trans[0].fill(-1);
}
int state(int tr,int suf,int mn,int mx) {
int cur = trans.size();
alloc(trans);
if(~tr) trans[cur] = trans[tr];
else trans[cur].fill(-1);
empb(slink,suf);
empb(minlen,mn);
empb(maxlen,mx);
return cur;
}
int add(char ch) {
int c = ch - 'a';
int u = state(-1,-1,-1,maxlen[last]+1);
int v = last;
while(v!=-1 && trans[v][c] == -1) {
trans[v][c] = u;
v = slink[v];
}
if(v == -1) {
minlen[u] = 1;
slink[u] = 0;
return last = u;
}
int x = trans[v][c];
if(maxlen[v]+1 == maxlen[x]) {
slink[u] = x;
minlen[u] = maxlen[x]+1;
return last = u;
}
int y = state(x,-1,-1,maxlen[v]+1);
minlen[y] = maxlen[slink[y] = slink[x]]+1;
minlen[x] = maxlen[slink[x] = y]+1;
minlen[u] = maxlen[slink[u] = y]+1;
while(v != -1 && trans[v][c] == x) {
trans[v][c] = y;
v = slink[v];
}
return last = u;
}
};
int main() {
fast_io();
string str;
cin >> str;
SuffixAutomaton sam;
for(int i = 0; str[i]; i++) {
sam.add(str[i]);
}
long long res = 0;
for(int i = 1; i < sam.trans.size(); i++) {
res += sam.maxlen[i]-sam.minlen[i]+1;
}
cout << res << endl;
return 0;
}
old version: https://paste.ubuntu.com/p/TjFs5wVS8d/
参考
hihocoder127/128解题方法提示