BZOJ – 1257 分块 详解

中文题面

这道题就是LightOJ某题的升级版

前段时间我是直接用√k前暴力后分块的处理方式,然后直接套个等差求和

这次看到了dalao的证明再次让我知道我好菜啊

在这里做下笔记,学习一下对于整除运算的分析方法

关于$[\frac{k}{i}]×i,i∈[1,n]$的处理

令$x∈[1,k],g(x)=[k/[k/x]],f(x)=k/x$

有$g(x) = [k/[f(x)]] ≥ [k/f(x)] = x$

得到$g(x) ≥ x$,换为底 $[k/g(x)]≤[k/x]$ ①

另一方面$[k/g(x)] = [k/[k/[k/x]]] ≥ [k/k*[k/x]] = [k/x]$ ②

由①②可知$x∈[1,k]$时,$[k/g(x)]=[k/x]$

既对所有的$i∈[x,g(x)],[k/i]=[k/x]$

既计算的规模取决于$i$和$[k/i]$,

$i≤\sqrt{k}$时,计算规模为$\sqrt{k}$(可认为$i$逐一计算)

$i>\sqrt{k}$时,计算规模为$[k/i]$的不同的值,$max{{[k/i]}}<\sqrt{k}$,规模还是$\sqrt{k}$(分段计算)

这也是之前可以暴力分块的依据,实际运算的时候要注意防止越界(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    ll n,k,ans,gx,l,r,w,val;
    while(cin>>n>>k){
        ans=n*k;
        for(int x=1; x<=n; x=gx+1){
            val=k/x;
            if(val==0) break;
            gx=min(k/(k/x),n);
            l=x,r=gx;
            w=r-l+1;
            ans -= val*(l+r)*w/2;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}